Question

【题目】设,函数.

（1）求函数的的单调递增区间;

（2）设,问是否存在极值, 若存在, 请求出极值; 若不存在, 请说明理由;

（3）设是函数图象上任意不同的两点, 线段的中点为,直线的斜率为.证明:.

Answer 1

【答案】（1）当时, ；当时, （2）当时, 无极值; 当时, 有极大值无极小值.（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）先求导函数，再在定义区间内求导函数零点：当时, 恒成立, 当时, ，最后列表分析区间导数符号，确定单调增区间（2）先求导函数，再在定义区间内求导函数零点：当时, 恒有,当时, 最后列表分析区间导数符号，确定极值，（3）先分析不等式：即，再构造对应函数：因为，所以设，即只要为增函数

试题解析：在区间上，.

（1）. ① 当时, 恒成立,的单调递增区间为②当时, 令,即,得的单调递增区间为.

综上所述: 当时, 的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为.

（2）,得,当时, 恒有,

在上为单调递增函数, 故 在上无极值; 当时, 令 ,得单调递增, 单调递减, ，无极小值. 综上所述: 当时, 无极值; 当时, 有极大值无极小值.

（3）证明:, 又,要证：，即证，不妨设，即证，即证，设，即证，也就是要证，其中，事实上：设，则，所以在上单调递增，因此，即结论成立.