题目内容

讨论函数f（x）=
x2+1          (x≤0)
x+1             (x＞0)
在x=0处的可导性．
分析：根据导数的定义进行求解，看函数在0点的左右极限是否存在，进行讨论．
解答：解：函数f（x）在x=0处是否可导，
即
f(0+△x)-f(0)
△x
当△x→0时的极限是否存在．
∵
lim
△x→0+
f(0+△x)-f(0)
△x

=
lim
△x→0+
△x+1-1
△x
=1，
lim
△x→0-
f(0+△x)-f(0)
△x

=
lim
△x→0-
(△x)2+1-1
△x
=0，
又∵
lim
△x→0+
f(0+△x)-f(0)
△x
≠
lim
△x→0-
f(0+△x)-f(0)
△x
，
∴
f(0+△x)-f(0)
△x
当△x→0时的极限不存在，因此f（x）在x=0处不可导．
点评：此题主要考查变化率与导数的关系，还有极限的运算，是一道基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=ln（1+x2）．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范围；
（2）设F（x）=f（x）+h（x），且b≤0，试讨论函数F（x）的单调性．
已知函数f（x）=a•lnx+b•x2在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f（x）满足f（x）≥g（x）恒成立，则称f（x）是g（x）的一个“上界函数”，如果函数f(x)为g(x)=
t
x
-lnx（t为实数）的一个“上界函数”，求t的取值范围；
（3）当m＞0时，讨论F(x)=f(x)+
x2
2
-
m2+1
m
x在区间（0，2）上极值点的个数．
讨论函数f（x）=x+
ax
（a＞0）的单调性．
已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若k=
1
3
，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间[
1
2
，a]上的值域为[
1
a
，1]，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
（1）证明：函数f（x）=x+
2
x
在（0，
2
]上是减函数，在[
2
，+∞）上是增函数；
（2）试讨论方程x+
2
x
=a，（x∈（1，2]，a∈R）的解的个数．

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