Question

已知函数f(x)=loga[(

1

a

-2)x+1]在区间上[1，3]的函数值大于0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．( 1 2 ，1)

B．( 1 2 ， 3 5 )

C．（1，+∞）

D．(0， 3 5 )

Answer 1

设g（x）=（

1

a

-2）x+1，x∈[1，3]
所以g（x）=（

1

a

-2）x+1是定义域上的单调函数，
根据题意得

g(1)＞0 g(3)＞0

解得：0＜a＜

3

5

因为函数f(x)=loga[(

1

a

-2)x+1]在区间上[1，3]的函数值大于0恒成立
所以loga[(

1

a

-2)x+1]＞0在区间上[1，3]恒成立
所以loga[(

1

a

-2)x+1]＞loga1在区间上[1，3]恒成立
因为0＜a＜

3

5

所以(

1

a

-2)x+1＜ 1在区间上[1，3]恒成立
即(

1

a

-2)x＜0在区间上[1，3]恒成立
所以

1

a

-2＜0
解得a＞

1

2

所以

1

2

＜a＜

3

5

所以实数a的取值范围是

1

2

＜a＜

3

5

．
故选B．