Question

已知定义在（0，+∞）上的三个函数f(x)=lnx，g(x)=x²-af(x)，h(x)=x-a，且g(x)在x=1处取得极值，
（Ⅰ）求函数g(x)在x=2处的切线方程；
（Ⅱ）求函数h(x)的单调区间；
（Ⅲ）把h(x)对应的曲线C₁向上平移6个单位后得到曲线C₂，求C₂与g(x)对应曲线C₃的交点个数，并说明理由。

Answer 1

解：（1），，
∴a=2，经检验a=2成立，
又，
∴，即3x-y-2-2ln2=0。
（2），定义域[0，+∞)，
，
令，得x＞1；令，得0＜x＜1，
∴函数h(x)单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）；
（3）由（1）知，定义域[0，+∞)，
∴C₂对应的表达式为，
问题转化为求函数与图象交点个数问题，
故只需求方程，即根的个数，
设，
，
当x∈（0，4），，为减函数；当，，为增函数，
而，图象是开口向下的抛物线，
作出函数的图象，，
而可知交点个数为2个，
即曲线C₂与C₃的交点个数为2个。