题目内容

已知向量 $数学公式$ =（cos（-θ），sin（-θ））， $数学公式$ = $数学公式$ ．
（1）求证： $数学公式$ ．
（2）若存在不等于0的实数k和t，使 $数学公式$ = $数学公式$ +（t²+3） $数学公式$ ， $数学公式$ =（-k $数学公式$ +t $数学公式$ ），满足 $数学公式$ ，试求此时 $数学公式$ 的最小值．

解：（1）证明∵ $\text{[math]}$ =cos（-θ）•cos（ $\text{[math]}$ -θ）+sin（-θ）•sin $\text{[math]}$ =sinθcosθ-sinθcosθ=0．
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）解由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ =0，
即[ $\text{[math]}$ +（t²+3） $\text{[math]}$ ]•（-k $\text{[math]}$ +t $\text{[math]}$ ）=0，
∴-k $\text{[math]}$ +（t³+3t） $\text{[math]}$ +[t²-k（t+3）] $\text{[math]}$ =0，
∴-k $\text{[math]}$ +（t³+3t） $\text{[math]}$ =0．
又 $\text{[math]}$ =1， $\text{[math]}$ =1，
∴-k+t³+3t=0，
∴k=t³+3t．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =t²+t+3= $\text{[math]}$ 2+ $\text{[math]}$ ．
故当t=- $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用向量的数量积公式求出 $\text{[math]}$ ，利用三角函数的诱导公式化简得数量积为0，利用向量垂直的充要条件得证．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律化简方程，将方程中的k用t表示，代入 $\text{[math]}$ ，利用二次函数最值的求法求出最小值．
点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算律、二次函数最值的求法．