Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足，，．
（1）当t变化时，求点P的轨迹C的方程；
（2）若过点F的直线交曲线C于A，B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列．

Answer 1

解：（1）设点P的坐标为（x，y），
由，得点M是线段FT的中点，则
，，
又，
由，得，①
由，得（﹣1﹣x）×0+（t﹣y）×1=0，
∴t=y                                                ②
由①②消去t，得
y²=4x
即为所求点P的轨迹C的方程
（2）证明：设直线TA，TF，TB的斜率依次为k₁，k，k₂，
并记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

设直线AB方程为x=my+1
，
得y²﹣4my﹣4=0，
∴，
∴y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²﹣2y₁y₂=16m²+8，
∴
               =
               =
               =﹣t=2k
∴k₁，k，k₂成等差数列