Question

（本小题满分12分）

    如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=，CD=1

   （1）证明：MN∥平面PCD；

   （2）证明：MC⊥BD；

   （3）求二面角A—PB—D的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】解：（1）证明：取AD中点E，连接ME，NE，

由已知M，N分别是PA，BC的中点，

∴ME∥PD，NE∥CD

又ME，NE平面MNE，MENE=E，

所以，平面MNE∥平面PCD，           2分

所以，MN∥平面PCD   3分

（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，

所以PD⊥DA，PD⊥DC，

在矩形ABCD中，AD⊥DC，

如图，以D为坐标原点，

射线DA，DC，DP分别为

轴、轴、轴

正半轴建立空间直角坐标系   

则D（0，0，0），A（，0，0），

B（，1，0）（0，1，0），

P（0，0，）     5分

所以（，0，），，  6分

∵·=0，所以MC⊥BD         7分

（3）解：因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，

所以BD⊥平面MCE,

所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，      

由已知，所以平面PBD的法向量

M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA，

又CD⊥平面PAD，AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，

所以DM⊥平面PAB，         

所以平面PAB的法向量（-，0，）      9分

设二面角A—PB—D的平面角为θ，

则.

所以，二面角A—PB—D的余弦值为.             12分