Question

9．如图，在四棱锥S-ABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD=90°，SA⊥底面ABCD，SA=AB=BC=2，CD=$\sqrt{5}$．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明．

Answer 1

分析 （1）由已知先求出AD=2+$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=3，由此能求出四棱锥S-ABCD的体积．
（2）在SD上找一点E，使得SE：SD=2：3，此时CE∥平面SAB．过E作EF∥AD交SA于F，连接BF，CE，由△SFE∽△SAD，得到四边形BCEF是平行四边形，由此能证明CE∥面SAB．

解答 解：（1）∵在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，
SA⊥底面ABCD，SA=AB=BC=2，CD=$\sqrt{5}$，
∴AD=2+$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=3，
${S}_{梯形ABCD}=\frac{2+3}{2}×2$=5，
∴四棱锥S-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{梯形ABCD}×SA$=$\frac{1}{3}×5×2$=$\frac{10}{3}$．
（2）在SD上找一点E，使得SE：SD=2：3，此时CE∥平面SAB．
证明如下：过E作EF∥AD交SA于F，连接BF，CE
则△SFE∽△SAD，∴$\frac{EF}{AD}=\frac{SE}{SD}=\frac{2}{3}$，EF=2
又EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，EF=BC=2
∴四边形BCEF是平行四边形
∴CE∥BF，
∵BF?面SAB上，CE?面SAB，
∴CE∥面SAB．

点评 本题考查四棱锥的体积的求法，考查满足线面平行的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．