Question

在R上定义运算*：a*b=2ab+2a+b，且f(x)=

x*(x-2)，(x≤0) (x-1)*(-x)，(x＞0)

，则不等式f（x）＜-1的解集为（　　）

• A．(-

  1

  2

  ，1)
• B．(-1，

  1

  2

  )∪(1，+∞)
• C．(-

  1

  2

  ，

  1

  2

  )∪(1，+∞)
• D．（-1，2）

Answer 1

分析：先利用新定义确定函数f（x）的表达式，然后通过讨论求解不等式．

解答：解：由定义运算可得，当x≤0时，f（x）=2x（x-2）+2x+x-2=2x²-x-2．
当x＞0时，f（x）=-2x（x-1）+2（x-1）-x=-2x²+3x-2．
所以当x≤0时，由f（x）＜-1得2x²-x-2＜-1，即2x²-x-1＜0，解得-

1

2

＜x＜1，所以此时不等式的解-

1

2

＜x≤0．
当x＞0时，由f（x）＜-1得-2x²+3x-20，解得x＞1或x＜

1

2

，所以此时不等式的解为x＞1或0＜x＜

1

2

．
所以不等式的解为x＞1或-

1

2

＜x＜

1

2

，所以不等式的解集为（-

1

2

，

1

2

）∪（1，+∞）．
故选C．

点评：本题的考点是新定义以及一元二次不等式的解法．在解不等式时要进行分段求解．