Question

己知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，不等式+≤1所表示的平面区域的面积为16．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上是否存在两个不同的点P，Q，使P，Q关于直线y=4x+m对称？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，可得；利用不等式+≤1所表示的平面区域的面积为16，可得，从而可得椭圆C的方程；
（2）假设P，Q存在，设出点的坐标，利用点差法可得PQ的中点M的坐标，根据M在椭圆内，建立不等式，即可求得m的取值范围．
解答：解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴，∴①
根据对称性知，不等式+≤1所表示的平面区域是椭圆C的四个顶点为顶点的菱形，可得②
由①②可得a=4，b=2
∴椭圆C的方程为；
（2）假设P，Q存在，设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ的中点M（x，y），则
两式相减可得
∴=-×=-
∴y=2x
∵y=4x+m，∴，y=-m
∵M在椭圆内，∴
∴
∴
∴
∴m的取值范围是．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的对称性，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．