Question

1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB．
（1）求角C的大小；
（2）若c=$\sqrt{7}$，a²+b²=10，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，由A+B+C=π，求出cosC=$\frac{1}{2}$，由此能求出∠C．
（2）由余弦定理得7=10-ab，从而ab=3，由此能求出△ABC的面积．

解答 解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB，
∴2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，
∵A+B+C=π，
∴2sinAcosC=sin（B+C）=sinA，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴∠C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵c=$\sqrt{7}$，a²+b²=10，$∠C=\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
即7=10-ab，解得ab=3，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×3×sin\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查三角形角的大小的求法，考查三角形面积的求法，考查正弦定理、余弦定理、正弦函数加法定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．