Question

【题目】已知.

(1)若，求函数的单调区间和最小值.

(2)若有两个极值求实数的取值范围。

(3)若，且，比较与的大小，并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为，.

（2）.

（3）；理由见解析.

【解析】分析：（1）对函数求导，利用导数的正负，可得函数的单调区间，从而求得函数的最小值，得到结果；

（2）根据函数有两个极值点，得到其导数等于零有两个不等的正根，且在根的两侧导数的符号是相反的，分类讨论求得结果；

（3）利用导数研究其大小，借助于基本不等式求得结果.

详解：（1）∵ ∴，

∴，令，解得：，列表得：

		0
	单调减	极小值	单调增

∴的单调减区间为，单调增区间为，；

（2）∵有两个极值点

∴在上有两个不同的零点，且零点左右的的符号的相反．

设，则．

当时，在上恒成立，所以在上单调增，在上最多有一个零点，不合题意；

当时，由，解得：

∴时，，时，

∴在上单调增，则上单调减，

若，则，所以，在上最多有一个零点，不合题意；若，，又，

（取其他小于0的函数值也可）

设，，则在上恒成立

∴在上单调减 ∴，则时，

∵ ∴ ∴

∴在、上各有一个零点，且零点两侧的函数符号相反

∴

（3）结论：．下面证明：

由（1）知：在上单调减，在上单调增

∵ ∴，即

∴，同理

∴

∵，当且仅当时取等号，且

∴，则

∴ ∴．