Question

（2011•湖北模拟）已知复数z=1+

2i

1-i

，则1+z+z²+…+z²⁰¹⁰为（　　）

A．1+i

B．1-i

C．i

D．-i

Answer 1

分析：将z=1+

2i

1-i

化简，有z=i，利用i⁴ⁿ=1，{z^n-1}为首项为1，公比为z的等比数列，利用其求和公式S₂₀₁₁=

1-z2011

1-z

即可求得答案．

解答：解：∵z=1+

2i

1-i

=1+

2i(1+i)

2

=i，∵i²=-1，i⁴=1，
∴1+z+z²+…+z²⁰¹⁰为=1+i+i²+…+i²⁰¹⁰=

1-i2011

1-i

=

1-i3

1-i

=

(1-i)•(1+i+i2)

1-i

=i；
故选C．

点评：本题考查复数代数形式的混合运算，易错点在于所求和式中项数为2011项，而非2010项，属于中档题．