题目内容

已知函数，f（x）= $数学公式$ ，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
（I）求证数列{ $数学公式$ }是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+..a_na_n+1，求S_n．

解：（I）由条件得， $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ =3．
∴数列{ $\text{[math]}$ }是首项为 $\text{[math]}$ =1，公差d=3的等差数列．
∴ $\text{[math]}$ =1+（n-1）×3=3n-2．
故a_n= $\text{[math]}$ ．
（II）∵a_na_n+1= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．
∴S_n═a₁a₂+a₂a₃+..a_na_n+1
= $\text{[math]}$ [（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）]
= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
分析：（I）直接利用a_n+1=f（a_n）得到 $\text{[math]}$ ．再对其取倒数整理即可证数列{ $\text{[math]}$ }是等差数列；进而求出数列{a_n}的通项公式；
（II）利用（I）的结论以及所问问题的形式，直接利用裂项相消求和法即可求S_n．
点评：本题第二问主要考查了数列求和的裂项相消法．裂项相消法一般适用于一数列的通项是一分式形式且分子为常数，而分母是某一等差数列相邻两项的乘积组成．