Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若AD=2，当PC与平面ABCD所成角的正切值为

2

2

时，求四棱锥P-ABCD的外接球表面积．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥平面ABCD，PC⊥平面BDE，结合线面垂直的性质可得PA⊥BD及PC⊥BD，进而由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC；
（2）由已知可得PC即为四棱锥P-ABCD的外接球的直径，结合AD=2，PC与平面ABCD所成角的正切值为

2

2

时，求出外接球的半径，可得四棱锥P-ABCD的外接球表面积．

解答：证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD．…（2分）
同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD．                          …（4分）
又PA∩PC=P，
∴BD⊥平面PAC．                                 …（6分）
解：（2）由（1）知BD⊥平面PAC，又AC?平面PAC，
∴BD⊥AC．
故矩形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD=2．
所以AC=2

2

…（8分）
因为PA⊥平面ABCD，
所以 PA与平面ABCD所成角为∠PCA，
因为PC与平面ABCD所成角的正切值为

2

2

，
即tan∠PCA=

2

2

，即tan∠PCA=

PA

AC

，
所以PA=ACtan∠PAC=2

2

×

2

2

=2，…（10分）
又2R=PC=

22+22+22

=

12

，
∴R=

3

所以四棱锥P-ABCD的外接球体积为S球面=4πR2=4π(

3

)2=12π．…（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，球的表面积，解答（1）的关键是熟练掌握线面垂直的判定与性质，解答（2）的关键是求出四棱锥P-ABCD的外接球的半径．