Question

直线l与函数y=sinx（x∈[0，π]）的图象相切于点A，且l∥OP，O为坐标原点，P为图象的极值点，l与x轴交于点B，过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则=________．

Answer 1

分析：直线l的斜率即为OP的斜率，即函数y=sinx在点A处的导数，得到 cosx₁=，点斜式写出
AB直线的方程，求出点B的横坐标，由= cos∠ABC==（x₁-x_B）² 求出结果．
解答：∵P（，1），直线l的斜率即为OP的斜率 =，设 A（x₁，y₁），
由于函数y=sinx在点A处的导数即为直线l的斜率，
∴cosx₁=，y₁=sinx₁==，
∴AB直线的方程为 y-y₁= （x-x₁ ），
令y=0 可得点B的横坐标 x_B =x₁- y₁，
= cos∠ABC==（x₁-x_B）² ==×（1-）=，
故答案为：．
点评：本题考查直线的斜率公式，函数的导数与斜率的关系，求直线的点斜式方程，以及两个向量数量积的定义，属于中档题．