Question

直线l与函数y=sinx（x∈[0，π]）的图象相切于点A，且l∥OP，O为坐标原点，P为图象的极值点，l与x轴交于点B，过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则

BA

•

BC

=

 

．

Answer 1

分析：直线l的斜率即为OP的斜率，即函数y=sinx在点A处的导数，得到 cosx₁=

2

π

，点斜式写出
AB直线的方程，求出点B的横坐标，由

BA

•

BC

=|

BA|

•|

BC

| cos∠ABC=|

BC

|2=（x₁-x_B）² 求出结果．

解答：解：∵P（

π

2

，1），直线l的斜率即为OP的斜率

1-0

π 2 -0

=

2

π

，设 A（x₁，y₁），
由于函数y=sinx在点A处的导数即为直线l的斜率，
∴cosx₁=

2

π

，y₁=sinx₁=

1-cos2x1

=

1- 4 π2

，
∴AB直线的方程为  y-y₁=

2

π

 （x-x₁ ），
令y=0 可得点B的横坐标 x_B =x₁-

π

2

 y₁，

BA

•

BC

=|

BA|

•|

BC

| cos∠ABC=|

BC

|2=（x₁-x_B）² =(

π

2

y1)2=

π2

4

×（1-

4

π2

）=

π2-4

4

，
故答案为：

π2-4

4

．

点评：本题考查直线的斜率公式，函数的导数与斜率的关系，求直线的点斜式方程，以及两个向量数量积的定义，属于中档题．