Question

已知曲线C₁：（a＞b＞0）所围成的封闭图形的面积为，曲线C₁的内切圆半径为，记C₂为以曲线C₁与坐标轴的交点为顶点的椭圆。
（1）求椭圆C₂的标准方程；
（2）设AB是过椭圆C₂中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点。
（i）若|MO|=λ|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C₂上运动时，求点M的轨迹方程；
（ii）若M是l与椭圆C₂的交点，求△AMB的面积的最小值。

Answer 1

解：（1）由题意得
又
解得，
因此所求椭圆的标准方程为。
（2）（i）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为，
解方程组得，
所以
设，由题意知，
所以，
即，
因为l是AB的垂直平分线，
所以直线l的方程为，
即，
因此，
又，
所以，
故
又当或不存在时，上式仍然成立
综上所述，M的轨迹方程为。
（2）当k存在且时，由（i）得，，
由解得，，
所以，，
由于



，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
此时面积的最小值是
当，
当k不存在时，
综上所述，的面积的最小值为。