题目内容

AB是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：kAB•kOM为定值．
【答案】分析：设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2，的表达式，根据直线方程求得y1+y2的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入kAB•kOM中求得结果为定值，原式得证．
解答：证明：设直线为：y=kx+c
联立椭圆和直线消去y得
b2x2+a2（kx+c）2-a2b2=0，即 （b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2-b2）=0
所以：x1+x2=-
所以，M点的横坐标为：Mx=（x1+x2）=-
又：y1=kx1+c
y2=kx2+c
所以y1+y2=k（x1+x2）+2c=
所以，点M的纵坐标My=（y1+y2）=
所以：Kom===-
所以：
kAB•kOM=k×=
点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便．
练习册系列答案
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AB是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：kAB•kOM为定值．
（2013•盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点M（3
2
，
2
），椭圆的离心率e=
2
2
3
，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B．
①若直线MA过坐标原点O，试求△MAF2外接圆的方程；
②若∠AMB的平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．
精英家教网如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点M（3
2
，
2
），椭圆的离心率e=
2
2
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B．若∠AMB的平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．

AB是椭圆(a＞b＞0)中不平行于对称轴且不过原点O的一条弦，M是AB的中点，求证：

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