Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＞0），在同一周期内，当时，f（x）取得最大值3；当时，f（x）取得最小值﹣3．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；

（Ⅲ）若时，函数h（x）=2f（x）+1﹣m有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：

正弦函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

专题：

三角函数的图像与性质．

分析：

（Ⅰ）由题意可得A=3，根据周期T=2（ ）=，求得ω=2．由2×+φ=2kπ+，k∈z，以及﹣π＜φ＜π，可得 φ的值，从而求得函数的解析式．

（Ⅱ）由 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．

（Ⅲ）函数y=sin（2x+）的图象和直线y=在上有2个交点，再由 2x+∈[﹣，]，y=sin（2x+）的图象可得 ∈[，1），由此求得实数m的取值范围．

解答：

解：（Ⅰ）由题意可得A=3，周期T=2（ ）=，∴ω=2．

由2×+φ=2kπ+，k∈z，以及﹣π＜φ＜π，可得 φ=，故函数f（x）=3sin（2x+）．

（Ⅱ）由 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，

 故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．

（Ⅲ）∵时，函数h（x）=2f（x）+1﹣m有两个零点，故 sin（2x+）= 有2个实数根．

即函数y=sin（2x+）的图象和直线y= 有2个交点．

再由 2x+∈[﹣，]，结合函数y=sin（2x+）的图象可得 ∈[，1），解得 m∈[3+1，7），

即 实数m的取值范围是[3+1，7）．

点评：

本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．