Question

在数列{a_n}中，a₁=0，且对任意k∈N*，a_2k-1，a_2k，a_k+1成等差数列，其公差为d_k
（1）若d_k=2k，证明a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列（k∈N*）；
（2）若对任意k∈N*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列，其公比为q_k。
（i）设q₁≠1，证明是等差数列；
（ii）若a₂=2，证明。

Answer 1

解：（1）由题设，可得

所以

由a₁=0，得a_2k+1=2k（k+1）
从而，
于是
所以
所以d_k=2k时，对任意k∈N*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列；
（2）（i）由a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，及a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列，得2a_2k=a_2k-1+a_2k+1
2=+q_k
当q₁≠1时，可知q_k≠1，k∈N*
从而
即
所以是等差数列，公差为1；
（ii）由a₁=0，a₂=2，可得a₃=4，从而
由（i）有得
所以
从而
因此

以下分两种情况进行讨论：
①当n为偶数时，设n=2m（m∈N*）
若，则
若



所以
从而，
②当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N*）



综合①②可知，对任意n≥2，n∈N*，有。