题目内容

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长都相等，且CC₁⊥底面ABC，则异面直线BC₁与AC所成角的余弦值为________．

$\text{[math]}$
分析：连接A₁B，设该三棱柱的棱长为1，根据棱柱的性质可证出∠A₁C₁B（或其补角）就是异面直线BC₁与AC所成的角．因为CC₁⊥底面ABC，所以四边形B₁C₁CB和四边形B₁A₁AB都是边长为1的正方形，可得A₁B=BC₁= $\text{[math]}$ ，最后在△A₁C₁B中运用由余弦定理即可算出BC₁与AC所成角的余弦值．
解答：

连接A₁B，设该三棱柱的棱长为1，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC∥A₁C₁
∴∠A₁C₁B（或其补角）就是异面直线BC₁与AC所成的角
∵CC₁⊥底面ABC，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，可得四边形B₁C₁CB是矩形
∵BC=CC₁=1，∴BC₁= $\text{[math]}$ ，同理可得A₁B= $\text{[math]}$
△A₁C₁B中，由余弦定理得：cos∠A₁C₁B= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
即异面直线BC₁与AC所成角的余弦值为 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题在所有棱长都相等的正三棱柱中，求底面一边与面对角线所在直线所成角余弦，着重考查了直棱柱的性质和异面直线所成的角的求法等知识，属于基础题．