Question

求顶点为坐标原点O、对称轴为x轴，且经过点A（-1，1）的抛物线的方程，写出该抛物线的焦点坐标和准线方程，并求直线y=2x+3截该抛物线的弦长．

Answer 1

分析：由题意可设抛物线的方程为y²=-2px（p＞0）．把点A（-1，1）代入即可得到p，进而得到焦点坐标和准线方程．
设直线y=2x+3与抛物线相较于等M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与抛物线方程联立即可得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得出．

解答：解：由题意可设抛物线的方程为y²=-2px（p＞0）．
把点A（-1，1）代入得1=2p，∴p=

1

2

，

p

2

=

1

4

．
∴该抛物线的方程为y²=-x，焦点坐标为(-

1

4

，0)和准线方程x=

1

4

．
设直线y=2x+3与抛物线相较于等M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立

y=2x+3 y2=-x

，化为4x²+13x+9=0．
∴x1+x2=-

13

4

．
∴|MN|=p-（x₁+x₂）=

1

2

-(-

13

2

)=7．

点评：熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数、弦长公式扥公式解题的关键．