Question

设函数f(x)=

1

2

x-

1

8

sin2x-

3

8

cos2x．
（1）试判定函数f（x）的单调性，并说明理由；
（2）已知函数f（x）的图象在点A（x₀，f（x₀））处的切线斜率为

1

2

，求

2sin2x0+sin2x0

1+tanx0

的值．

Answer 1

f′(x)=

1

2

-

1

4

cos2x+

3

4

sin2x=

1

2

sin(2x-

π

6

)+

1

2

≥0，
∴f（x）定义域内单调递增．（4分）
（2）由f′(x0)=

1

2

sin(2x0-

π

6

)+

1

2

=

1

2

，
得：sin(2x0-

π

6

)=0．∴2x0-

π

6

=kπ(k∈Z)，
得2x0=kπ+

π

6

(k∈Z)，（4分）
∴

2sin2x0+sin2x0

1+tanx0

=

2sinx0cosx0(sinx0+cosx0)

cosx0+sinx0

=sin2x0=sin(kπ+

π

6

)=

3 2 k取偶数时 - 3 2 k取奇数时

（6分）