Question

正方形ABCD的边长为1，分别取BC、CD的中点E、F，连接AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠这个正方形，使B、C、D重合为一点P，得到一个四面体P-AEF，
（1）求证：AP⊥EF；
（2）求证：平面APE⊥平面APF．

Answer 1

证明：（1）因为∠APE=∠APF=90°，
PE∩PF=P．所以PA⊥平面PEF，
因为EF?平面PEF，所以PA⊥EF；
（2）因为∠APE=∠APF=90°，
PA∩PF=P．所以PE⊥平面APF，
又PE?平面APE，所以平面APE⊥平面APF．
分析：（1）由∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P?PA⊥平面PEF?AP⊥EF；
（2）由∠APE=∠APF=90°，PA∩PF=P?PE⊥平面APF?平面APE⊥平面APF．
点评：本题考查平面和平面垂直的判定和性质以及直线和直线垂直的判定．在证明线线垂直时，其常用方法线证明线面垂直，再证明线线垂直．