Question

已知数列a_n满足
（1）求数列a_n的通项公式a_n；
（2）设，求数列b_n的前n项和S_n；
（3）设，，数列c_n的前n项和为T_n．
求证：对任意的

Answer 1

解：（1）∵，∴，
又∵，所以数列（n∈N^*）是以3为首项，-2为公比的等比数列，
∴．
（2）b_n=（3×2^n-1+1）²
=9•4^n-1+6•2^n-1+1，
∴
=3•4ⁿ+6•2ⁿ+n-9．
（3）证明：由（1）知，当n≥3时，则
=
又∵T₁＜T₂＜T₃，
∴对任意的n∈N^*，T_n．（12分）
分析：（1）由题意知，所以，再由，知数列（n∈N^*）是以3为首项，-2为公比的等比数列，由此可求出数列a_n的通项公式a_n．
（2）由题设知b_n=（3×2^n-1+1）²=9•4^n-1+6•2^n-1+1，所以
=3•4ⁿ+6•2ⁿ+n-9．
（3）由题意知，，再由T₁＜T₂＜T₃，知对任意的n∈N^*，T_n．
点评：本题考查数列的应用和性质，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用，注意积累解题方法．