Question

甲乙两个亚运会主办场馆之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为1，1，2，2，2，3，3，现从中任选三条网线，设可通过的信息量为X，当可通过的信息量X≥6，则可保证信息通畅．
（Ⅰ）求线路信息通畅的概率；   
（Ⅱ）求线路可通过的信息量X的分布列；
（Ⅲ）求线路可通过的信息量X的数学期望．

Answer 1

分析：（I）由题意知通过的信息量ξ≥6，则可保证信息通畅．线路信息通畅包括三种情况，即通过的信息量分别为8，7，6，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式得到结果．
（II）线路可通过的信息量ξ，ξ的所有可能取值为4，5，6，7，8，结合变量对应的事件和等可能事件的概率及互斥事件的概率，得到变量的概率，写出分布列．
（III）由（II）可得X的期望．

解答：解：（I）∵通过的信息量ξ≥6，则可保证信息通畅．
∴线路信息通畅包括三种情况，即通过的信息量分别为8，7，6，
这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式得到
P(X=8)=

C 2 2 C 1 3

C 3 7

=

3

35

，
P(=7)=

C 2 3 C 1 2 + C 2 2 C 1 2

C 3 7

=

8

35

，
P(X=6)=

C 1 2 C 1 3 C 1 2 + C 3 3

C 3 7

=

13

35

，
∴线路信息通畅的概率为P=

3

35

+

8

35

+

13

35

=

24

35

．
（II）线路可通过的信息量X，X的所有可能取值为4，5，6，7，8．
P(X=5)=

C 2 2 C 1 2 + C 2 3 C 1 2

C 3 7

=

8

35

，
P(X=4)=

C 2 2 C 1 3

C 3 7

=

3

35

，
P(X=8)=

C 2 2 C 1 3

C 3 7

=

3

35

，
P(X=7)=

C 2 3 C 1 2 + C 2 2 C 1 2

C 3 7

=

8

35

，
P(X=6)=

C 1 2 C 1 3 C 1 2 + C 3 3

C 3 7

=

13

35

，
X的分布列为

X	4	5	6	7	8
P	3 35	8 35	13 35	8 35	3 35

（Ⅲ）由（II）可得：EX=4×

3

35

+5×

8

35

+6×

13

35

+7×

8

35

+8×

3

35

=6．

点评：概率统计的综合题，难度不大，因此一直是广大考生力求拿分的重要项目．概率、期望的计算是经常考查的内容，排列、组合知识是基础，掌握准确的分类和分步是解决概率问题的奠基石．