Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=，二面角M-BO-C的大小为30°．
（Ⅰ）求证：平面POB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求直线BM与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥D-PMO的体积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点可得四边形BCDQ为平行四边形，则CD∥BQ，从而QB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，根据面面垂直的性质可知，BQ⊥平面PAD，而BQ?平面PQB，满足面面垂直的判定定理，从而证得结论．
（Ⅱ）以O为原点建立空间直角坐标系．则平面BOC的法向量为；O，P，B，设M（x，y，z），求出M点坐标，利用cos∠OBM=，求出直线BM与CD所成角的余弦值．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结果，三棱锥D-PMO的体积就是V_M-POD求解即可．
解答：解：（Ⅰ）证明∵AD∥BC，BC=AD，O为AD的中点，
∴四边形BCDO为平行四边形，
∴CD∥BO．         
∵∠ADC=90°
∴∠AOB=90°  即OB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BO⊥平面PAD．             
∵BO?平面POB，
∴平面POB⊥平面PAD．      
（Ⅱ）∵PA=PD，O为AD的中点，∴PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．
（不证明PO⊥平面ABCD直接建系扣1分）
如图，以O为原点建立空间直角坐标系．
则平面BOC的法向量为；O（0，0，0），，，
．
设M（x，y，z），
则，，
∵，
∴，
∴，
在平面MBO中，，，
∴平面MBO法向量为．
∵二面角M-BO-C为30°，，
∴t=3． 
，
==，
=
cos∠OBM===．
（Ⅲ）三棱锥D-PMO的体积就是V_M-POD===．
点评：本题考查平面与平面垂直，直线与直线所成的角的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．