Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=-b，其中常数a，b∈R，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

Answer 1

分析：根据已知中f（x）=x³+ax²+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=-b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

解答：解：（I）因为f（x）=x³+ax²+bx+1，所以f'（x）=3x²+2ax+b．…..（2分）
令x=1得f'（1）=3+2a+b．
由已知f'（1）=2a，所以3+2a+b=2a．解得b=-3．…．（4分）
又令x=2得f'（2）=12+4a+b．
由已知f'（2）=-b，所以12+4a+b=-b，解得a=-

3

2

．…..（6分）
所以f(x)=x3-

3

2

x2-3x+1，f(1)=-

5

2

．…..（8分）
又因为f′(1)=2×(-

3

2

)=-3，…．（10分）
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-(-

5

2

)=-3(x-1)，即6x+2y-1=0．…..（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．