Question

设圆锥曲线r的两个焦点分别为F₁，F₂，若曲线r上存在点P满足|PF₁|：|F₁F₂|：|PF₂|=4：3：2，则曲线r的离心率等于

1

2

或

3

2

．

Answer 1

分析：根据|PF₁|：|F₁F₂|：|PF₂|=4：3：2，不妨设|PF₁|=4m，|F₁F₂|=3m，|PF₂|=2m，再进行分类讨论，确定曲线的类型，从而求出曲线r的离心率．

解答：解：根据|PF₁|：|F₁F₂|：|PF₂|=4：3：2，不妨设|PF₁|=4m，|F₁F₂|=3m，|PF₂|=2m，
∴|PF₁|+|PF₂|=6m＞|F₁F₂|=3m，此时曲线为椭圆，且曲线r的离心率等于

3m

6m

=

1

2

；
|PF₁|-|PF₂|=2m＜|F₁F₂|=3m，此时曲线为双曲线，且曲线r的离心率等于

3m

2m

=

3

2

，
故答案为：

1

2

或

3

2

点评：本题重点考查圆锥曲线的定义，考查曲线的离心率，正确判断曲线的类型是解题的关键．