Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a+1）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx，使g（x）在区间[-1，1]上是减函数的λ的取值的集合为P．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ） 对?x∈[-1，1]及λ∈P，g（x）≤λt-1恒成立，求实数t的最大值；
（Ⅲ）若关于x的方程

lnx

f(x)

=x2-2ex+m有且只有一个实数根，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=ln（e^x+a）是R上的奇函数，可得f（0）=0，从而可求a的值；
（Ⅱ）g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，即g（x）max≤t2+λt+1，由此可求t的取值范围；
（Ⅲ）构造f₁（x）=

lnx

x

，f₂（x）=x²-2ex+m，两图象应只有一个交点，利用导数研究他们的单调性和极值最值，得出极值最值关系，列方程求解．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（e^x+a+1）是实数集R上奇函数，∴f（0）=0，即ln（e⁰+a+1）=0，∴a+2=1，解得a=-1．
将a=-1带入f（x）=lne^x=x，显然为奇函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=λf（x）+sinx=g（x）=λx+sinx，
∴g′（x）=λ+cosx，x∈[-1，1]，
∴要使g（x）是区间[-1，1]上的减函数，则有g′（x）≤0在x∈[-1，1]恒成立，∴λ≤（-cosx）_min，所以λ≤-1．…（5分）
要使g（x）≤λt-1在x∈[-1，1]上恒成立，
只需g（x）min=g（-1）=-λ-sin1≤λt-1在λ≤-1时恒成立即可．
∴（t+1）λ+sin1-1≥0（其中λ≤-1）恒成立即可．
令h（λ）=（t+1）λ+sin1-1≥0（其中λ≤-1），则

t+1≤0 h(-1)≥0

即

t+1≤0 -t-2+sin1≥0

，
∴t≤sin1-2，实数t的最大值为sin1-2．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知方程

lnx

f(x)

=x2-2ex+m，即

lnx

x

=x2-2ex+m，
令f₁（x）=

lnx

x

，f₂（x）=x²-2ex+m，
∵f₁′（x）=

1-lnx

x2

当x∈（0，e]时，f₁′（x）≥0，f₁（x）在（0，e]上为增函数，
当x∈[e，+∞）时，f₁′（x）≤0，f₁（x）在[e，+∞）上为减函数；
∴当x=e时，f₁（x）_max=

1

e

，
而f₂（x）=x²-2ex+m，
=（x-e）²+m-e²，
当x∈（0，e]时，f₂（x）是减函数，当x∈[e，+∞）时，f₂（x）是增函数，
∴当x=e时，f₂（x）_min=m-e²，
只有当m-e²=

1

e

，即m=e²+

1

e

时，方程有且只有一个实数根．

点评：本题考查函数的奇偶性，考查恒成立问题，考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，属于难题．