Question

设函数f(x)=1-

1

x-1

，
（Ⅰ）判断并证明f（x）在（1，+∞）的单调性；
（Ⅱ）求函数在x∈[2，6]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设1＜x₁＜x₂，作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，根据函数单调性的定义，即可证明函数f（x）在（1，+∞）的单调性；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，可得f（x）在[2，6]上单调递增，利用函数的单调性，即可确定函数在x∈[2，6]的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=1-

1

x-1

，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增；
下面给出证明：
设1＜x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（1-

1

x1-1

）-（1-

1

x2-1

）=

x1-x2

(x1-1)(x2-1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴

x1-x2

(x1-1)(x2-1)

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）在[2，6]上单调递增，
∴当x=2时，f（x）取得最小值f（2）=0，
当x=6时，f（x）取得最大值f（6）=

4

5

，
∴函数在x∈[2，6]的最大值为

4

5

，最小值为0．

点评：本题考查了函数单调性的应用以及单调性的判断与证明．考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．求函数最值经常会应用函数的单调性进行求解，要掌握函数单调性的判断与证明．属于中档题．