题目内容

已知向量
p
=（sinx，cosx+sinx），
q
=（2cosx，cosx-sinx），x∈R，设函数f（x）=
p
•
q
．
（I）求f(
π
3
)的值及函数f（x）的最大值；
（II）求函数f（x）的单调递增区间．
分析：（1）由已知中向量
p
=（sinx，cosx+sinx），
q
=（2cosx，cosx-sinx），x∈R，函数f（x）=
p
•
q
．我们根据平面向量数量积的运算法则，我们易求出函数f（x）的解析式，再结合正弦型函数的性质，我们即可求出求f(
π
3
)的值及函数f（x）的最大值；
（2）由（1）所得的f（x）的解析式，我们结合三角函数求值域的方法，构造关于相位ωx+φ的不等式组，求出满足条件的自变量的取值范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．
解答：解：（I）∵
p
=（sinx，cosx+sinx），
q
=（2cosx，cosx-sinx），
∴f（x）=
p
•
q

=（sinx，cosx+sinx）•（2cosx，cosx-sinx）
=2sinxcosx+cos2x-sin2x
=sin2x+cos2x
=
2
sin(2x+
π
4
)
∴f(
π
3
)=
3
-1
2

∴函数f（x）的最大值为
2
．
当且仅当x=
π
8
+kπ（k∈Z）时
函数f（x）取得最大值为
2
．
（II）由2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
（k∈Z），
得kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
3π
8
，kπ+
π
8
]（k∈Z）
点评：函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为-|A|，周期T=
2π
ω
进行求解．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(1，1)，向量
n
与向量
m
夹角为
3
4
π，且
m
•
n
=-1．
（1）若向量
n
与向量
q
=（1，0）的夹角为
π
2
，向量
p
=(cosA，2cos2
C
2
)，其中A，C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求|
n
+
p
|的取值范围．
（2）若A、B、C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，A≤B≤C，设f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a2，f（A）的最大值为5-2
2
，关于x的方程sin(ax+
π
3
)=
m
2
(a＞0)在[0，
π
2
]上有相异实根，求m的取值范围．
已知向量
m
=（1，1），
q
=（1，0），＜
n
，
p
＞=
π
2
 且
m
•
n
=-1；若△ABC的内角A，B，C依次成等差数列，且A≤B≤C；
（1）若关于x的方程sin（2x+
π
3
 ）=
m
2
 在[0，B]上有相异实根，求实数m的取值范围；
（2）若向量
p
=（cosA，2cos2
C
2
），试求|
n
+
p
|的取值范围．
已知向量
m
=(1，cosωx)，
n
=(sinωx，
3
)（ω＞0），函数f(x)=
m
•
n
，且f（x）图象上一个最高点为P(
π
12
，2)，与P最近的一个最低点的坐标为(
7π
12
，-2)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设a为常数，判断方程f（x）=a在区间[0，
π
2
]上的解的个数；
（3）在锐角△ABC中，若cos(
π
3
-B)=1，求f（A）的取值范围．

已知向量p＝(－cos 2x，a)，q＝(a,2－sin 2x)，函数f(x)＝p·q－5(a∈R，a≠0)

(1)求函数f(x)(x∈R)的值域；

(2)当a＝2时，若对任意的t∈R，函数y＝f(x)，x∈(t，t＋b]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)的在[0，b]上单调递增区间．

 

 

 

 

已知向量p＝(－cos 2x，a)，q＝(a,2－sin 2x)，函数f(x)＝p·q－5(a∈R，a≠0)

(1)求函数f(x)(x∈R)的值域；

(2)当a＝2时，若对任意的t∈R，函数y＝f(x)，x∈(t，t＋b]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)的在[0，b]上单调递增区间．

 

 

 

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