题目内容

已知向量
m
=(1，1)，向量
n
与向量
m
夹角为
3
4
π，且
m
•
n
=-1．
（1）若向量
n
与向量
q
=（1，0）的夹角为
π
2
，向量
p
=(cosA，2cos2
C
2
)，其中A，C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求|
n
+
p
|的取值范围．
（2）若A、B、C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，A≤B≤C，设f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a2，f（A）的最大值为5-2
2
，关于x的方程sin(ax+
π
3
)=
m
2
(a＞0)在[0，
π
2
]上有相异实根，求m的取值范围．
分析：由题意先求出向量
n
的坐标满足有x2+y2=1
（1）由向量
n
与向量
q
=（1，0）的夹角为
π
2
，故有
n
•
q
=0，由此解出向量
n
的坐标，代入|
n
+
p
|2，用相关公式求其范围，进而求出|
n
+
p
|∈[
2
2
，
5
2
）
（2）先解出B=
π
3
，确定出A的范围，再对f（A）用换元法变形，求出其最值的表达式，判断并求出其最大值是1-2
2
+a2，又已知f（A）的最大值为5-2
2
，令两者相等解出参数a的值，再由sin(2x+
π
3
)=
m
2
在[0，
π
2
]上有相异实根，依据三角函数的性质求出参数m满足的范围．
解答：解：（1）令
n
=（x，y），则有cos
3
4
π=
m
•
n
|m
|•|
n|
=-
2
2

由
m
•
n
=-1得|
m
|•|
n
|=
2
，又向量
m
=(1，1)，故其模为
2
，
则向量
n
人模为1．则有x2+y2=1
向量
n
与向量
q
=（1，0）的夹角为
π
2
，故有
n
•
q
=0，即x=0，故y=±1
又
m
•
n
=-1故y=-1，则
n
=（0，-1），
 向量
p
=(cosA，2cos2
C
2
)，即
p
=(cosA，1+cosC)
又A，C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列 故B=
π
3

|
n
+
p
|2=cos2A+cos2C=cos2A+cos2（
2π
3
-A）=1+
1
2
cos（2A+
π
3
）
由A∈（0，
2π
3
），得2A+
π
3
∈（
π
3
，
5π
3
）得cos（2A+
π
3
）∈[-1，
1
2
）
|
n
+
p
|2∈[
1
2
，
5
4
）故|
n
+
p
|∈[
2
2
，
5
2
）
（2）∵A、B、C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，A≤B≤C，∴B=
π
3

∴f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a2=2sinAcosA-2（sinA+cosA）+a2 
令t=sinA+cosA=
2
sin（A+
π
4
），则2sinAcosA=t2-1
由于A∈（0，
π
3
]，A+
π
4
∈（
π
4
，
7π
12
]，故t=
2
sin（A+
π
4
）∈（1，
2
]
故有f（A）=t2-1-2t+a2=t2-2t+a2-1，t∈（1，
2
]
当t=
2
时取到最大值为1-2
2
+a2
又f（A）的最大值为5-2
2
，故1-2
2
+a2=5-2
2

故a2=4，又a＞0，故a=2
又关于的方程sin(ax+
π
3
)=
m
2
(a＞0)在[0，
π
2
]上有相异实根
即方程sin(2x+
π
3
)=
m
2
在[0，
π
2
]上有相异实根
因为x∈[0，
π
2
]，故y=sin(2x+
π
3
)在（0，
π
12
）上是增函数，在（
π
12
，
π
2
）上是减函数
方程sin(2x+
π
3
)=
m
2
在[0，
π
2
]上有相异实根
故
m
2
∈[
3
2
，1），
故m∈[
3
，2）．
点评：本题考点是三角函数的最值，综合利用二次函数的最值，向量的运算，三角函数的恒等变形，三角函数的最值，及三角函数的图象，涉及到知识广度高，综合性强，做题时要有耐心地对题目中所给的每一个条件细心、严谨转化，对每一个条件所蕴含的本质进行挖掘，逐步向结论靠近，如本题中第二小题，逐层推进比较明显，答题过程中仔细体会此思维脉络．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(
3
sin
x
4
，1)，
n
=(cos
x
4
，cos2
x
4
)，记f(x)=
m
•
n
，
（1）求f（x）的值域和单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，若f(A)=
1+
3
2
，试判断△ABC的形状．
已知向量
m
=(λ+1，1)，
n
=(λ+2，2)，若（
m
+
n
)⊥(
m
-
n
)⊥(
m
-
n
)，则λ=
-3
-3
．
（2013•浦东新区二模）已知向量
m
=(1，1)，向量
n
与向量
m
的夹角为
3π
4
，且
m
•
n
=-1．
（1）求向量
n
；
（2）若向量
n
与
q
=(1，0)共线，向量
p
=(2cos2
C
2
，cosA)，其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，求|
n
+
p
|的取值范围．
已知向量
m
=(1，1)，向量
n
与向量
m
的夹角为
3π
4
，且
n
•
m
=-1
（1）求向量
n
的坐标；
（2）若向量
n
与向量
i
的夹角为
π
2
，向量
p
=(x2，a2)，
q
=(a2，x)，求关于x的不等式(
p
+
n
)•
q
＜1的解集．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网