Question

选修4-4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+

π

4

)+

2

=0，曲线C₁的参数方程为 

x=2+4cosθ y= 1 2 +sinθ

(θ是参数)
（1）若把曲线C₁上的横坐标缩短为原来的

1

4

，纵坐标不变，得到曲线C₂，求曲线C₂在直角坐标系下的方程
（2）在第（1）问的条件下，判断曲线C₂与直线l的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）先写出曲线C₁的直角坐标方程，将曲线C₁上的横坐标缩短为原来的

1

4

，纵坐标不变，得到曲线C₂的方程即可；
（2）直线l的极坐标方程化成直角坐标方程，利用曲线C₂的圆心到直线l的距离公式，求出距离表达式，利用直线与圆的位置关系得出曲线C₂与直线l的位置关系．

解答：解：（1）由题意可知：曲线C₁的参数方程为 

x=2+4cosθ y= 1 2 +sinθ

(θ是参数)，
因为曲线C₁的直角坐标方程为：

(x-2) 2

16

+

(y- 1 2 ) 2

1

=1．
∴把曲线C₁上的横坐标缩短为原来的

1

4

，纵坐标不变，得到曲线C₂，
则曲线C₂在直角坐标系下的方程为：

(4x-2) 2

16

+

(y- 1 2 ) 2

1

=1，
即(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=1．
（2）将原极坐标方程ρcos(θ+

π

4

)+

2

=0化为：
ρcosθ-ρsinθ+2=0，
化成直角坐标方程为：x-y+2=0，
直线为 x-y+2=0圆心到直线的距离是d=

2

＞1，
所以直线和圆相离．

点评：本题是中档题，考查直线的参数方程，直线与圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离的应用，考查计算能力，转化思想．