Question

15．编号为1、2、3、4的四封信本应分别投入编号为①、②、③、④的四个邮箱，通过邮递员投递，可能出现信件错投若有序数组（a₁，a₂，a₃，a₄）是四个邮箱依序实际收到的信件编号，且有序数组为1、2、3、4的排列，共有24种情况．用X=|a₁-1|+|a₂-2|+|a₃-3|+|a₄-4|表示信件编号与邮箱编号的偏离程度．
（1）写出X的可能性集合（不必说明原因），并列出X=2的全部有序数组；
（2）若规定：X取最小值时，为“好评”；X取最大值时，为“差评”；X取其他值时，为“一般”．试求邮递员被评为“一般”的概率．

Answer 1

分析 运用树形结构法确定事件，运用X=|a₁-1|+|a₂-2|+|a₃-3|+|a₄-4|，求出所有的X的值，即可得出出X=2的全部有序数组；
运用古典概率公式得出：“好评”，“差评”，“一般”的概率．

解答 解：∵编号为1、2、3、4的四封信本应分别投入编号为①、②、③、④的四个邮箱，
∴用X=|a₁-1|+|a₂-2|+|a₃-3|+|a₄-4|，
∵运用树形结构法确定事件：
1，2，3，4，X=0；     1，2，4，3，X=2；    1，3，2，4，X=2；     1，3，4，2，X=4；
1，4，3，2，X=4；     1，4，2，3，X=4；   2，1，3，4，X=2；     2，1，4，3，X=4；
2，3，1，4，X=4；     2，3，4，1，X=6；    2，4，1，3，X=6；     2，4，3，1，X=6；
3，1，2，4，X=4；     3，1，4，2，X=6；    3，2，1，4，X=4；     3，2，4，1，X=6；
3，4，1，2，X=8；     3，4，2，1，X=8；    4，1，2，3，X=6；     4，1，3，2，X=6；
4，2，1，3，X=6；     4，2，3，1，X=6；    4，3，1，2，X=8；     4，3，2，1，X=8；
∴（1）X的值为0，2，4，6，8，
X=2时，有3个事件，（1，2，4，3）；（1，3，2，4）；（2，1，3，4）
（2）X=0时，有1个事件，（1，2，3，4）；
X=8时，有4个事件，（3，4，1，2）；（3，4，2，1）；（4，3，2，1）；（4，3，1，2），
X=2，或X=4或X=6时，有19个事件，
“好评”的概率为：$\frac{1}{24}$；“差评”，概率为$\frac{4}{24}$；根据对立事件的关系得出：“一般”为1-$\frac{1}{24}$$-\frac{4}{24}$=$\frac{19}{24}$．
∴邮递员被评为“一般”的概率：$\frac{19}{24}$

点评 本题考查了运用树形结构法确定事件，古典概率的求解，难度不大，注意仔细列举事件，即可解决所求的问题，属于中档题．