Question

【题目】设，若无穷数列满足：对所有整数，都成立，则称“-折叠数列”.

（1）求所有的实数，使得通项公式为的数列是-折叠数列；

（2）给定常数，是否存在数列，使得对所有，都是-折叠数列，且的各项中恰有个不同的值？证明你的结论；

（3）设递增数列满足.已知如果对所有，都是-折叠数列，则的各项中至多只有个不同的值，证明：.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）存在，证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据题中所给定义，列方程讨论的取值可得出结果；

（2）只需列举出例子即可证明，结合定义，数列的图象有无数条对称轴，可联想三角函数；

（3）结合（2）的结论利用数学归纳法即可证明.

（1）要使通项公式为的数列是“-折叠数列”，只需.

①当时，，显然成立；

②当时，上式可化为，则，，.

综上所述，或；

（2）对于给定的，都是“-折叠数列”，故数列的图象有多条对称轴，其中都是数列的图象的对称轴，

设，由，得对称轴为，且数列的周期为，

满足给定常数，使得对所有的，都是“-折叠数列”，

是周期数列，且周期为，在这个周期内，为对称轴，

故对应的项的个数与对应的项的个数相等，

，，在上单调递增，，

故各项中共有个不同的取值.

综上所述，给定常数，存在数列，使得对所有，都是“-折叠数列”，且的各项中恰有个不同的取值；

（3）由（2）知，且，即.

故要证原不等式成立，只需证，只需证.

①当时，不等式显然成立；

②假设当时，有成立，

则当时，，

故当时，不等式成立.

综上所述，.