Question

已知点M（x₁,f(x₁)）是函数f(x)=,x∈(0,+∞)图象C上的一点，记曲线C在点M处的切线为l.
（1）求切线l的方程；
（2）设l与x轴，y轴的交点分别为A、B，求△AOB周长的最小值.

Answer 1

（1）y=-x+ (2)△AOB周长的最小值是4+2

（1）f′(x)=-,∴k=f′(x₁)=-.
∴切线方程为y-=-(x-x₁),
即y=-x+.
(2)在y=-x+中，令y=0得x=2x₁,
∴A(2x₁,0).令x=0，得y=,∴B.
∴△AOB的周长m=2x₁++.
∴m=2,x₁∈(0,+∞).
令t=x₁+,∵x₁∈(0,+∞),∴t≥2.
∴当t=2，即x₁=1时，m_最小=2(2+).
故△AOB周长的最小值是4+2.