Question

在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“折线距离”．则坐标原点O与直线2x+y-2

5

=0上一点的“折线距离”的最小值是

 

；圆x²+y²=1上一点与直线2x+y-2

5

=0上一点的“折线距离”的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根据新定义直接求出d（A，O）；求出过O与直线 2x+y-2

5

=0的点坐标的“折线距离”的表达式，然后求出最小值；F为圆上任意一点，过P、F分别作x、y轴的垂线交于点Q，延长FQ交直线于点Q'，将F看作定点，由问题1知P与F的最小“折线距离”为|FQ'|，即可求出结果．

解答：解：如图1，直线与两轴的交点分别为N(0，2

5

)，M(

5

，0)，设P（x，y）
为直线上任意一点，作PQ⊥x轴于Q，于是有|PQ|=2|QM|，
所以d=|OQ|+|QP|≥|OQ|+|QM|≥|OM|，即当P与M重合时，dmin=|OM|=

5

如图2，设F为圆上任意一点，过P、F分别作x、y轴的垂线交于点Q，延长FQ交直线于点Q'，将F看作定点，由问题1知P与F的最小“折线距离”为|FQ'|，设F的纵坐标为m，则dmin=|FQ′|min，|FQ′|=

2 5 -m

2

-

1-m2

=

5

-

m+2 1-m2

2

，显然只需要考虑m∈[0，1]，设m=sinθ(θ∈[0，

π

2

])，|FQ′|=

5

-

5 sin(θ+φ)

2

，其中cosφ=

1

5

，sinφ=

2

5

，所以当sinθ=

1

5

，cosθ=

2

5

时，dmin=|FQ′|min=

5

2

故答案为：

5

，

5

2

．

点评：本题是中档题，考查新定义，利用新定义求出函数的最小值问题，考查计算能力，对新定义的理解和灵活运应是解好本题的关键．