Question

（本小题满分12分）

如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过作平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知。

（1）求证：⊥平面；

（2）求二面角的大小。

 

Answer 1

【答案】

（1）证明见解析。

（2）

【解析】（1）证明：依题设，是的中位线，所以∥，

则∥平面，所以∥。

又是的中点，所以⊥，则⊥。

因为⊥，⊥，

所以⊥面，则⊥，

因此⊥面。

（2）作⊥于，连。因为⊥平面，

根据三垂线定理知，⊥，

就是二面角的平面角。

作⊥于，则∥，则是的中点，则。

设，由得，，解得，

在中，，则，。

所以，故二面角为。

 

解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则

所以

所以

所以平面

由∥得∥，故：平面

（2）由已知设

则

由与共线得:存在有得

 

同理:

设是平面的一个法向量,

则令得 

又是平面的一个法量

所以二面角的大小为