Question

函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y=f（x）叫做闭函数，现有f（x）=

x+2

+k是闭函数，那么k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：函数f（x）=

x+2

+k 在定义域为[-2，+∞）内是增函数，由②可得 f（a）=a，f（b）=b，由此推出 a和 b
是方程 x²-（2k+1）x+k²-2=0在[-2，+∞）上的两个根．故有

△ =(2k+1)2-4(k2-2)＞0 对称轴x = 2k+1 2 ＞ -2 g(-2) =(k+2) 2≥ 0 k≤a

，
解此不等式求得 k 的范围即为所求．

解答：解：函数f（x）=

x+2

+k 的定义域为[-2，+∞），且在定义域内是增函数，故满足①，
又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴f（a）=a，f（b）=b，
∴

a+2

+k=a，且

b+2

+k=b，∴a+2=（a-k）²，且 b+2=（b-k）²，且k≤a，k≤b．
即

a2-(2k+1)a+k2-2 = 0 b2-(2k+1)b+k2-2 = 0

，故 a和 b 是方程 x²-（2k+1）x+k²-2=0在[-2，+∞）上的两个根．
令 g（x）=x²-（2k+1）x+k²-2，
则有 

△ =(2k+1)2-4(k2-2)＞0 对称轴x = 2k+1 2 ＞ -2 g(-2) =(k+2) 2≥ 0 k≤a

，解得 a≥k＞-

9

4

，那么k的取值范围是（-

9

4

，a]，
故答案为：（-

9

4

，a]．

点评：本题考查函数的单调性的应用，求函数的值域，体现了转化的数学思想，得到a和 b 是方程 x²-（2k+1）x+k²-2=0在[-2，+∞）上的两个根，是解题的难点，属于基础题．