题目内容

已知F1，F2为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．
（1）证明：d，b，a成等比数列；
（2）若M的坐标为(
2
，1)，求椭圆C的方程；
[文科]在（2）的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若
OA
•
OB
=0，求直线l的方程．
[理科]在（2）的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若椭圆C上存在点P，使得
OP
=
OA
+
OB
，求直线l的方程．
分析：（1）设M点的坐标为（c，y0），则|y0|=d，代入椭圆方程，整理可得
d
b
=
b
a
，进而根据等比数列的定义得到结论；
（2）M的坐标为(
2
，1)，则c=
2
，d=1，进而求出a，b的值，可得椭圆C的方程；
[文科]设点A（x1，y1）、B（x2，y2），由
OA
•
OB
=0，联立方程，由韦达定理和向量垂直的充要条件构造关于直线斜率的方程，解方程求出直线斜率，可得直线l的方程．
[理科]设点P（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），进而根据
OP
=
OA
+
OB
，由韦达定理和向量加法坐标运算公式，构造关于直线斜率的方程，解方程求出直线斜率，可得直线l的方程．
解答：证明：（1）由条件知M点的坐标为（c，y0），其中|y0|=d，
∴
c2
a2
+
d2
b2
=1，d=b?
1-
c2
a2
=
b2
a
，（3分）
∴
d
b
=
b
a
，
即d，b，a成等比数列．（4分）
解：（2）由条件知c=
2
，d=1，
∴
b2=a?1
a2=b2+2
(6分)
∴解得a=2，b=
2
．，
∴椭圆方程为
x2
4
+
y2
2
=1（8分）
[文科]设点A（x1，y1）、B（x2，y2），
当l⊥x轴时，A（-
2
，-1）、B（-
2
，1），
所以
OA
•
OB
≠0．（9分）
设直线l的方程为y=k（x+
2
），
代入椭圆方程得
x2
4
+
k2(x+
2
)2
2
=1．（11分）
即（1+2k2）x2-4
2
k2x+4k2-4=0
所以x1+x2=
4
2
k2
1+2k2
，x1?x2=
4k2-4
1+2k2
．（13分）
由
OA
•
OB
=0得x1?x2+y1?y2=0
x1?x2+k2(x1+
2
)(x2+
2
)=(1+k2)x1?x2+
2
k2(x1+x2)+2k2=0
代入得
(1+k2)(4k2-4)
1+2k2
-
4
2
k2?
2
k2
1+2k2
+2k2=0，解得k=±
2
．
所以直线l的方程为y=±
2
(x+
2
)．（16分）
[理科]设点P（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），
由
OP
=
OA
+
OB
，得
x=x1+x2
y=y1+y2

当l⊥x轴时，A（-
2
，-1）、B（-
2
，1），
此时P（-2
2
，0）不在椭圆上．（9分）
设直线l的方程为y=k（x+
2
），
代入椭圆方程得（1+2k2）x2-4
2
k2x+4k2-4=0．（11分）
所以x1+x2=
4
2
k2
1+2k2
，x1?x2=
4k2-4
1+2k2
．（13分）
把点P（x，y）代入椭圆方程得
32k4
4(1+2k2)2
+
8k2
2(1+2k2)2
=1，解得k2=
1
2
，
所以直线l的方程为y=±
2
2
(x+
2
)．（16分）
点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，是高考的压轴题型，综合能力强，运算量大，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知F1，F2为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率e=
3
2
，则椭圆的方程为（　　）
A、
x2
4
+
y2
3
=1
B、
x2
16
+
y2
3
=1
C、
x2
16
+
y2
4
=1
D、
x2
16
+
y2
12
=1
已知F1，F2为椭圆E的两个左右焦点，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率e满足|PF1|=e|PF2|，则e的值为
 
．
已知F1、F2为椭圆
x2
25
+
y2
9
=1的两个焦点，点P是椭圆上的一个动点，则|PF1|•|PF2|的最小值是
9
9
．
已知F1、F2为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦点，B为椭圆短轴的一个端点，
BF1
•
BF2
≥
1
2
F1F2
2则椭圆的离心率的取值范围是
（0，
1
2
]
（0，
1
2
]
．
（2009•荆州模拟）已知F1、F2为椭圆C：
x2
m+1
+
y2
m
=1的两个焦点，P为椭圆上的动点，则△F1PF2面积的最大值为2，则椭圆的离心率e为（　　）

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