Question

正方形ABCD边长为4，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE折起到AED₁的位置时，有平面ACD₁⊥平面ABCE，并且BD₁⊥CD₁.

（1）判断并证明E点的具体位置；

（2）求点D₁到平面ABCE的距离.

Answer 1

解：（1）连接AC、BD交于点O，再连结DD₁，由BD⊥AC，且平面ACD₁⊥平面ABCE于AC，

∴BD⊥平面ACD₁，故CD₁⊥BD，

又CD₁⊥BD₁，∴CD₁⊥平面BDD₁，即得CD₁⊥DD₁,

在Rt△CDD₁中，由于ED=ED₁，∴∠EDD₁=∠ED₁D，

则∠ECD₁=90°-∠EDD₁=90°-∠ED₁D=∠ED₁C，∴EC=ED₁=ED，

即E点为边CD的中点.

（2）取OC的中点M，连结D₁M、EM，则EM∥BD，得EM⊥平面ACD₁，即∠EMD₁=90°.

又因为D₁E=2，EM=，则D₁M=，又AD₁⊥EM，且AD⊥DE，∴AD₁⊥D₁E.

∴AD₁⊥平面EMD₁，则AD₁⊥D₁M，

在Rt△AM D₁中，A D₁=4,AM=, D₁M=，过D₁作D₁H⊥AM于H点，则D₁H⊥平面ABCE，

由于D₁H=AD₁ ·D₁M/AM=（）/（）=4/3，

此即得点D₁到平面ABCE的距离.