题目内容
如图，正方形ABCD边长为2，内切圆为⊙O，点P是⊙O上任意一点．（1）求|
| PA |
| PB |
| PC |
| PD |
（2）求证：(
| PA |
| PB |
| PC |
| PD |
分析：（1）利用向量减法的运算分别表示，
=
-
、
=
-
等代入式子，利用
+
+
+
=
，|
|=r进行求解；
（2）以圆心O为原点相互垂直的两条直径为坐标轴建立坐标系，设出P的坐标，由向量的坐标表示求出
、
、
、
，由数量积坐标运算求出(
+
)⊥(
+
)，根据圆的方程，求出结果为零，即证出垂直关系．
| PA |
| OA |
| OP |
| PB |
| OB |
| OP |
| OA |
| OB |
| OC |
| OD |
| O |
| OP |
（2）以圆心O为原点相互垂直的两条直径为坐标轴建立坐标系，设出P的坐标，由向量的坐标表示求出
| PA |
| PB |
| PC |
| PD |
| PA |
| PB |
| PC |
| PD |
解答：
（1）解：设正方形内切圆半径为r，则r=1．
∵
+
+
+
=
-
+
-
+
-
+
-
=
+
+
+
-4
，
又∵
+
+
+
=
，|
|=r，
∴|
+
+
+
|=4r=4．
（2）证明：以圆心O为原点相互垂直的两条直径为坐标轴建立如图所示的坐标系，
∴A（1，1），B（-1，1），C（-1，-1），D（1，-1），P（x，y），
且x2+y2=1．
∴
=(1-x，1-y)，
=(-1-x，1-y)，
=(-1-x，-1-y)，
=(1-x，-1-y)，
∴
+
=(-2x，2-2y)，
+
=(-2x，-2-2y)，
∴(
+
)•(
+
)=4x2+4y2-4=0．
∴(
+
)⊥(
+
)．
（1）解：设正方形内切圆半径为r，则r=1．∵
| PA |
| PB |
| PC |
| PD |
| OA |
| OP |
| OB |
| OP |
| OC |
| OP |
| OD |
| OP |
=
| OA |
| OB |
| OC |
| OD |
| OP |
又∵
| OA |
| OB |
| OC |
| OD |
| O |
| OP |
∴|
| PA |
| PB |
| PC |
| PD |
（2）证明：以圆心O为原点相互垂直的两条直径为坐标轴建立如图所示的坐标系，
∴A（1，1），B（-1，1），C（-1，-1），D（1，-1），P（x，y），
且x2+y2=1．
∴
| PA |
| PB |
| PC |
| PD |
∴
| PA |
| PB |
| PC |
| PD |
∴(
| PA |
| PB |
| PC |
| PD |
∴(
| PA |
| PB |
| PC |
| PD |
点评：本题的考点是向量在几何上的应用，根据图形的特点利用向量的线性运算进行化简求值，证明垂直时常用数量积的值为零来证明，建立坐标系时利用图形中的垂直关系或对称性．
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