Question

t∈(0，10)，由t确定两个任意点P(t，t)，Q(10－t，0)，问：①直线PQ是否能通过点M(6，1)和N(4，5)；②在内作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．

(1)求证：顶点C一定在直线上；

(2)求图中阴影部分面积的最大值，并求此时顶点A、B、C、D的坐标

Answer 1

答案：略
解析：

①由两点式可得直线PQ的方程为 ， 假设点M在PQ上，则有 ，而△＜0，无实根， ∴M不在PQ上． 同理得：－16t＋50=0得=8－，=8＋(舍去)[∵t∈(0，10)] 当t=8－时，直线PQ过点N(4，5)． ②由已知可设A(a，0)、B(2a，0)、C(2a，a)、D(a，a) (1)由C(2a，a)知，顶点C在直线上． (2)令阴影面积为S，则 ，∵t∈(0，10) ∴ 又∵点C(2a，a)在直线PQ上 ∴2at－(2t－10)a=－＋l0t ∴ ∴ ∴当时，， 此时，A、B(5，0)、C、D

提示：

本题体现方程函数思想，用到待定系数法及解方程的知识． ①这是一道结论开放的探索性命题，通常假设结论是肯定的，若由此推导出的结果与已知条件和其他数学定理无矛盾，则结论是肯定性的，否则，结论就是否定的． ②最值问题转化为函数求最值．