Question

如图：椭圆

x2

2

+y2=1，其准线与x轴交点为D，一直线过右焦点F与椭圆交于A，B两点，当△ABD面积为

2

3

时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：设直线AB的方程为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 2 +y2=1 x=ty+1

，得(t2+2)y2+2ty-1=0，由此能求出直线AB的方程．

解答：解：易得椭圆右焦点F的坐标（1，0），
点D的坐标为（2，0），
故|FD|=1．
显示直线AB与x轴不重合，
故设直线AB的方程为x=ty+1，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 x=ty+1

，得(t2+2)y2+2ty-1=0
于是|y1-y2|=

△

|t2+2|

=

2 2t2+2

t2+2

所以S△ABD=

1

2

•|FD|•|y1-y2|=

2t2+2

t2+2

=

2

3

，
整理得2t⁴-t²-1=0，
解得t²=1或t2=-

1

2

（舍去），
故t=1或t=-1．
所以直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．