Question

已知圆O：x2+y2=

4

9

，直线l：y=kx+m与椭圆C：

x2

2

+y2=1相交于P、Q两点，O为原点．
（Ⅰ）若直线l过椭圆C的左焦点，且与圆O交于A、B两点，且∠AOB=60°，求直线l的方程；
（Ⅱ）如图，若△POQ重心恰好在圆上，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用圆心O到直线l的距离d=

|k|

k2+1

=

1

3

即可求得k，从而可得直线l的方程；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，利用韦达定理可求得x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，又△POQ重心恰好在圆x²+y²=

4

9

上，可求得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4，化简可求得m²=

(1+2k2)2

4k2+1

，△＞0⇒1+2k²＞m²，二者联立即可求得m的范围．

解答：解：（Ⅰ）左焦点坐标为F（-1，0），设直线l的方程为y=k（x+1），由∠AOB=60°得，圆心O到直线l的距离d=

1

3

，
又d=

|k|

k2+1

，
∴

|k|

k2+1

=

1

3

，解得k=±

2

2

．
∴直线l的方程为y=±

2

2

（x+1）．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
由△＞0得：1+2k²＞m²…（⊕），且x₁+x₂=-

4km

1+2k2

．
∵△POQ重心恰好在圆x²+y²=

4

9

上，
∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=4，
即(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4，即（1+k²）(x1+x2)2+4km（x₁+x₂）+4m²=4．
∴

16(1+k2)k2m2

(1+2k2)2

-

16k2m2

1+2k2

+4m²=4，化简得：m²=

(1+2k2)2

4k2+1

，代入（⊕）式得：k≠0，
又m²=

(1+2k2)2

4k2+1

=1+

4k4

4k2+1

=1+

4

4 k2 + 1 k4

．
∵k≠0，
∴m²＞1，
∴m＞1或m＜-1．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查点到直线间的距离公式，突出考查韦达定理的应用，考查转化思想与逻辑思维与运算能力，属于难题．