题目内容
【题目】已知函数
.
若曲线
在点
处的切线平行于
轴,求函数
的单调区间；
若
时,总有
,求实数
的取值范围.
【答案】
当
时， 
，
在
上单调递减；当
时,
， 在
上单调递增；
.
【解析】
曲线
在点
处的切线平行于
轴等价于在处的导数等于0.解出a的值，再求导判断正负号，写出单调区间。
将带入不等式，化简整理为
，转化为讨论
，在
上的最大值
，求出a的取值范围。
由
得:
在点处的切线斜率
，则
.
此时
，
.
由
，得
.
当时， ，在上单调递减；
当时, ， 在上单调递增.
由
得:.
设，，则
.
，
.
① 当
，即
时，
，
在
上单调递增，
，不合要求，应舍去.
② 当
，即
时，
，在上单调递减，
，满足要求.
③ 当
，即
时，令
得
.
当
时，
在
上单调递减;当
时，
在
上单调递增.
，
令
得
.
综合得，
的取值范围为.
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