Question

【题目】已知公差不为的等差数列的首项为1，前项和为，且数列是等差数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，问：均为正整数，且能否成等比数列？若能，求出所有的和的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) . (2) 当且仅当时，成等比数列．

【解析】

(1)利用的前3项为等差数列可求出公差，从而可求的通项公式.

(2)假设成等比数列，则有，当时，数列为递减数列，从而可判断出当时，总有，从而无正整数解，可检验满足要求.

解:(1)设等差数列的公差为.

因为，所以，

从而.

因为数列是等差数列，所以，

即，

化简得.

而，所以,故.

(2)假设存在正整数组和，使成等比数列,

则成等差数列，

于是，所以. （*）

易知满足（*）.

因为，且时，,

所以数列(,)为递减数列，

于是，

所以，当时，不存在正整数组和满足（*）.

综上，当且仅当时，成等比数列．