题目内容

设函数f（x）=（x-1）²+mlnx，其中m为常数．
（1）当 $数学公式$ 在定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）有极值点，求实数m的取值范围及f（x）的极值点．
（3）当 $数学公式$ ．

解：（1）函数f（x）=（x-1）²+mlnx，可得函数的定义域为（0，+∞）
f′（x）=2（x+1）+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x＞0）
当m $\text{[math]}$ 时，可知f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
（2）由（1）知，当 $\text{[math]}$ 时，函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，没有极值点．
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，没有极值点．
当 $\text{[math]}$ 时，令f'（x）=0得， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …（6分）
①当m≤0时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
列表：

x	（0，x₂）	x₂	（x₂，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

由此看出，当m≤0时，f（x）有唯一极小值点 $\text{[math]}$ ．…（8分）
②当 $\text{[math]}$ 时，0＜x₁＜x₂＜1，
列表：

x	（0，x₁）	x₁	（x₁，x₂）	x₂	（x₂，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

由此看出，当 $\text{[math]}$ 时，f（x）有极小值点 $\text{[math]}$ 和极大值点 $\text{[math]}$ ．
综上，当m≤0时，f（x）有唯一极小值点 $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时，f（x）有极小值点 $\text{[math]}$ 和极大值点 $\text{[math]}$ ．…（10分）
（3）由（2）知，m=-1时，函数f（x）=（x-1）²-lnx，
此时，函数f（x）有唯一极小值点 $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＜0，f（x）在 $\text{[math]}$ 上是减函数，
∵n≥3时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
∴n≥3时， $\text{[math]}$ ．
令函数h（x）=（x-1）-lnx（x＞0），则 $\text{[math]}$
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数，
∵n≥3时，1 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ f（1），即 $\text{[math]}$
∴n≥3时，ln（n+1）-lnn $\text{[math]}$
综上，当n≥3，n∈N时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立．
分析：（1）求导数，通过m $\text{[math]}$ ，x＞0，可判导数为正，可推f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）对m进行分类讨论，分别依据极值的定义进行分析，注意分类要做到不重不漏；
（3）要证明的问题即是当m=-1时的函数，通过构造函数分析函数的单调性得出结论．
点评：本题为导数和不等式的综合应用，涉及分类讨论的思想和极值的求解，属中档题．